ریاضیات و نجوم ابن هیثم

بالغ بر بیست اثر از آثار بازمانده ابن هیثم ویژه مسائل نجومی است. تحقیقات محققان جدید در معدودی از این آثار نظر بیهقی را که ابن هیثم را «بطلمیوس ثانی» خوانده، تأیید نمی کند. (البته اگر بیهقی به نورشناسی ابن هیثم نظر می داشت عنوانی که به او داده بجا می بود.) بیشتر این آثار رساله های مختصری هستند که به موضوعات فرعی و محدود نظری و عملی، که البته بی اهمیت نیستند (مانند ساعتهای خورشیدی، تعیین قبله، اختلاف منظر، و ارتفاع ستارگان) پرداخته اند و هیچ یک به نتیجه ای که قابل مقایسه با این کار ابن یونس یا نصیر الدین طوسی یا ابن شاطر باشد، دست نیافته است. با این حال، چنانکه بعضی از محققان توجه کرده اند، پاره ای از آثار ابن هیثم در این زمینه جالب و از لحاظ تاریخی پر اهمیت است.
شهرت ابن هیثم در نجوم بیشتر به سبب تألیف رساله ای است به نام مقاله فی هیئه العالم (10ب I=1III). ظاهراً این رساله از آثار جوانی او است، زیرا در آن «از پرتویی که از چشم خارج می شود» سخن گفته و ماه را جسمی صیقلی توصیف کرده که نور خورشید را «بازمی تاباند» این دو نظر را وی در المناظر (3III) و مقاله فی ضوء القمر (6III) رد کرده است. این رساله در جهان اسلام بسیار شناخته و رایج بود (1) و تنها نوشته نجومی ابن هیثم است که در قرون وسطی به غرب راه یافته است. آبراهام هبرایوس (2) آن را به سفارش آلفونسوی دهم(3)، شاه کاستیل (وفات : 1284میلادی) به اسپانیایی ترجمه کرد و این ترجمه را مترجم ناشناسی (تحت عنوان کتاب جهان و آسمان (4)) به لاتینی درآورد.
ابن تِبّو (یعقوب بن مخیر، (وفات: 1305) متنن عربی فی هیئه العالم را به عبری ترجمه کرد؛ شخص ناشناخته ای به او پیشنهاد کرده بود که این کار را برای اصلاح هیئته فرغانی انجام دهد، زیرا بحث فرغانی در این موضوع «با طبیعت امور موجود سازگار نیست» (5) سلیمان بن پاتر (6) پزشک به سال 1322 میلادی این کتاب را بار دیگر به عبری ترجمه کرد. بعدها آبراهام دوبالمز(7) ترجمه دیگری به لاتینی برای کاردینال گریمانی(8) (وفات هردو: 1523) از روی ترجمه عبری ابن تبون فراهم آورد. لوی بن گرشون در قرن چهاردهم میلادی از رساله ابن هیثم نقل قول کرده است. اخیراً به تأثیر این کتاب بر آثار منجمان اوایل رنسانس و بخصوص بر نظریه جدید سیارات (9) پویرباخ اشاره شده است. (10)
ابن هیثم در فی هیئه العالم مدعی است که می خواهد کاری را انجام دهد که نه آثار توصیفی و همه فهم بخوبی از عهده اش برآمده اند و نه آثار فنی و ریاضی، زیرا از یک سو گزارشهای توصیفی موجود فقط به صورت سطحی و ظاهری با جزئیاتی که از راه برهان و رصد اثبات شده است می خوانند، و از سوی دیگر کتبی چون مجسطی که کاملاً ریاضی هستند، قوانین حرکات آسمانی را بر حسب نقاط موهومی که روی دوایر موهومی حرکت می کنند بیان می کنند. بنابراین لازم است گزارشی فراهم آید که همه به نظریه ریاضی پایبند باشد و هم نحوه نشأت گرفتن این حرکات را از اجسام فیزیکی که این نقاط، طبق فرض، در آنها قرار دارند نشان دهد. چنین توصیفی «هم وضع موجود را درست تر وصف می کند و هم برای فاهمه بدیهی تر است»(11).
بنابراین ابن هیثم در این رساله قصد نداشت که در هیچ جزئی از نظریه بطلمیوس شک کند، بلکه به تبع سنتی که نسبش به ارسطو می رسید و منجمان هم به دلیل یکی از کتاب های بطلمیوس به نام فرض های سیاره ای (کتاب الاقتصاص) آن را قبول داشتند، می خواست پایه های فیزیکی آن نظریه انتزاعی را کشف کند. توصیف او می بایست به چند اصل که در آن زمان مورد قبول پیروان این سنت بود پایبند باشد: اجرام سماوی جز حرکات یکنواخت و دایره ای نمی توانند داشته باشند، جسم طبیعی نمی تواند به خودی خود بیش از یک حرکت طبیعی داشته باشد؛ خلأ محال است؛ خرق افلاک ممکن نیست. پس دستور کار ابن هیثم این بود که در برابر هر حرکت ساده ای که در مجسطی فرض شده است. جسمی کروی وضع کند که این حرکت بدان تعلق داشته باشد، و نیز نشان دهد که چگونه ممکن است این اجسام متعدد به حرکت خود ادامه دهند بی آنکه مانع حرکت یکدیگر شوند یا پشت سرخود خلایی برجای گذارند.
از این رو وی آسمان را متشکل از مجموعه ای از پوسته های کروی (یا افلاک) هم مرکز فرض کرده است که بر هم مماس اند و درون یکدیگر می چرخند. در داخل ضخامت هر پوسته، که نماینده فلک یکی از سیارات است، پوسته های هم مرکز و خارج از مرکز و کرات کامل دیگری وجود دارد که بترتیب با افلاک خارج از مرکز و افلاک تدویر متناظرند. همه پوسته ها و کره ها سرجای خود و به گرد مرکز خود می چرخند، و از ترکیب آنها حرکت ظاهری سیاره که طبق فرض روی استوای فلک تدویر قرار دارد پدید می آید. ابن هیثم با توصیف دقیقه همه حرکاتی که در کار می آیند. در واقع گزارشی کامل و روشن و غیرفنی از نظریه بطلمیوس درباره سیارات به دست می دهد، و همین نکته را از محبوبیت رساله او را آشکار می کند.
اگر نگاهی کوتاه به آثار دیگر ابن هیثم بیندازیم در می یابیم که وی برنامه ای را که به ارث برده بود تا چه اندازه جدی می گرفت و اهمیت کار او در ادوار بعدی نجوم اسلامی تا چه حد زیاد بوده است. ظاهراً مدتی پس از تألیف فی هیئه العالم رساله ای (61III)، به گفته خودش درباره حرکت التفاف تألیف کرد. التفاف عبارت است از تغییر میل فلک های تدویر، که باعث تغییر عرض پنج سیاره می شود (مجسطی، مقاله سوم، بخش دوم). این رساله ظاهراً از بین رفته، اما جوابیه ای که ابن هیثم در پاسخ منتقد ناشناخته ای نوشته به دست ما رسیده است. از این جوابیه، که نامش حل شکوک حرکت الالتفاف است معلوم می شود که وی در رساله پیشین یک ترتیب فیزیکی پیشنهاد کرده بود که نوسانات فلک های تدویر را، که بر طبق نظریه ریاضی لازم می آیند، تولید می کرده است. همین موضوع از جمله موضوعاتی است که در یکی دیگر از آثار او به نام الشکوک علی بطلمیوس(64III) مورد بحث قرار گرفته است. این کتاب (که بی گمان پس از جوابیه فوق نوشته شده است)بیش از هر اثر دیگر ابن هیثم وسعت نتایج برنامه فیزیکی را که او عهده دار شده بوده نشان می دهد.
شکوک نقدی است بر سه اثر بطلمیوس: مجسطی، کتاب الاقتصاص و المناظر (نور شناخت). تا آنجا که به دو کتاب اول مربوط می شود، نقد او بیشتر متوجه سرشت ریاضی صرف مجسطی است (که به نظر او، منحصر بودنش به این جنبه، نقص اصولی است که خود بطلمیوس پذیرفته است) و در مورد کتاب الاقتصاص حمله اش به این است که چرا در آن کتاب به بسیاری از حرکاتی که در مجسطی پیش می آیند رسیدگی نشده است(و این عیب را دلیل بر آن می داند که بطلمیوس نتوانسته است آرایش واقعی اجرام سماوی را کشف کند. )
ایراد ابن هیثم به «حرکت پنجم» ماه که در فصل پنجم از مقاله پنجم مجسطی بیان شده، بسیار آموزنده است؛ این اشکال کاملاً از نوع «برهان خلف» است، زیرا «ثابت می کند» که چنین حرکتی از لحاظ فیزیکی محال است. بطلمیوس فرض کرده بود که هنگام حرکت فلک تدویر ماه بر فلک حامل خارج مرکز آن، قطری که از اوج تدویر می گذرد (هنگامی که مرکز فلک تدویر بر اوج فلک حامل است) طوری می چرخد که همیشه در امتداد نقطه ای در روی خط اوج و حضیض است (این نقطه را نقطه المحاذات می گویند)؛ به طوری که مرکز دایره البروج در وسط خطی است که این نقطه را به مرکز فلک حامل وصل می کند. این فرض ایجاب می کند که وقتی فلک تدویر یک دور کامل روی فلک حامل خود می چرخد، قطر آن، بتناوب، در دو جهت مخالف بچرخد. اما ابن هیثم می گوید که چنین حرکتی را یا تنها یک کره ایجاد می کند، که بتناوب در دو جهت مختلف می چرخد، یا دو کره که یکی بی حرکت می ماند و دیگری در جهت خاص خود می چرخد. «چون فرض جسمی با این اوصاف ممکن نیست، بنابراین ممکن نیست که قطر فلک تدویر در امتداد آن نقطه مفروض باشد»(12).
شاید از نظر تاریخی، مهمترین اشکال ابن هیثم اشکالی باشد که به نظریه بطلمیوس درباره پنج سیاره و نیز وسیله ای که او در کار آورده و بعدها معدل مسیر نام گرفته، وارد کرده است. بطلمیوس فرض کرده است که نقطه ای که حرکت فلک تدویر سیاره از آن یکنواخت به نظر می آید نه مرکز فلک حامل خارج مرکز است و نه مرکز دایره البروج، بلکه نقطه دیگری است (به نام مُعدِّل مسیر) که روی خط اوج و حضیض قرار دارد و فاصله آن از مرکز فلک حامل با فاصله مرکز حامل از مرکز دایره البروج برابر است. (13) چنان که ابن هیثم اشاره کرده است، نظر بطلمیوس متضمن این معنی است که حرکت مرکز فلک تدویر، به صورتی که بر روی محیط فلک حامل آن اندازه گیری می شود، یکنواخت نیست و در نتیجه فلک حامل هم که فلک تدویر را با خود می برد حرکت یکنواخت ندارد؛ و این نکته با اصل یکنواختی حرکات، که خود او پذیرفته، مباین است.
گرچه با تعبیه معدل مسیر نظریه بطلمیوس درباره سیارات به نتایج مشاهدات نزدیکتر می شد، اما در نظر شخصی که به اصل حرکت دورانی یکنواخت پایبند باشد، اشکال ابن هیثم وارد است. اینکه گفته می شد معدل مسیر یک وسیله ریاضی و محاسباتی بیش نیست و فقط «برای نجات دادن پدیده ها» فرض شده است، هیچ یک از منتقدان بطلمیوس را تا کوپرنیکوس، و از جمله خود کوپرنیکوس؛ قانع نمی کرد. بطلمیوس خود نیز می دانست که این گونه تمهیدات خالی از اشکال نیست. ابن هیثم در شکوک به عبارتی در فصل دوم از مقاله نهم مجسطی اشاره می کند. بطلمیوس در این عبارت می خواهد که استفاده از وسایلی را که به اعتراف خودش با قواعد مباینت دارند (παρά τον λόγον = خارج عن القیاس) را بر او ببخشند؛ از جمله اینکه مثلاً گاهی محض سهولت فقط از دوایری که داخل افلاک رسم شده [به جای خود افلاک] استفاده کرده است، یا گاه قواعدی وضع کرده است که مبانی آنها مسلم نیست زیرا، به گفته بطلمیوس «وقتی چیزی بدون برهان وضع شود، و بعد معلوم شود که با پدیده ها سازگاری دارد، [می توان گفته که] آن چیز حتماً به روش علمی [سبیل مِنَ العِلم] کشف شده است، هر چند توصیف نحوه دستیابی به آن دشوار باشد»(14).
ابن هیثم مانعی نمی بیند که استدلالی بر پایه فرضهای اثبات ناشده بنا شود، به شرط آنکه این فرضها با اصولی که مسلم دانسته شده تناقض نداشته باشند. نتیجه ای که سرانجام می گیرد این است که یک هیئت واقعی برای افلاک وجود دارد که بطلمیوس موفق به کشف آن نشده است.
رسم بر این است که رویکرد «فیزیکی» ابن هیثم را نقطه مقابل رویکرد «انتزاعی» منجمان ریاضی تصور کنند. این فرض اگر به معنای وجود دو گروه دانشمند با علایق مختلف باشد، گمراه کننده است. پژوهشهای ریاضی مکتب مراغه(از جمله، خواجه نصیر طوسی و قطب الدین شیرازی) از همان انگیزه هایی سرچشمه می گرفت که در شکوک ابن هیثم به چشم می آید(15). مثلاً طوسی هم مانند ابن هیثم از وجود «حرکت پنجم» ماه و معدل مسیر بسیار ناراحت بود، و دلایلش همان دلایل ابن هیثم بود (16). وی در تذکره آشکارا می گوید که علم نجوم گذشته از مقدمات ریاضی بر مقدمات طبیعی (فیزیکی) نیز استوار است. از اشاره او به ابن هیثم (17)، ضمن تصحیحاتی که بر پایه مدل معروف به «جفت طوسی»[در مدل بطلمیوسی]وارد کرده، معلوم می شود که برنامه فیزیکی ابن هیثم را ارزشمند می دانسته، هر چند راه حل خاص او را قبول نداشته است.
مفصلترین نوشته نجومی ابن هیثم که به دست ما رسیده شرحی است بر مجسطی بطلمیوس، متن ناقص این کتاب در یگانه نسخه آن در استانبول، که اخیراً کشف شده، شامل 224 صفحه و هر صفحه در حدود 230 کلمه است (نگاه کنید به «کتابشناسی»، آثار اضافی، شماره 35). این نسخه خطی که به سال 1257/655 تحریر شده عنوان ندارد، ولی نام نویسنده در آن، در دو مورد، محمد بن حسن بن هیثم ذکر شده است، و این همان نامی است که ابن ابی اصیبعه در کتابنامه ای که خود ابن هیثم نوشته، یعنی در سیاهه های I و IIیافته است. ظاهراً هیچ یک از عناوینی که در سیاهه III آمده با این کتاب نمی خواند، ولی در سیاهه های دیگر عنوانهایی هست که شاید با این کتاب تطبیق کند. عنوان اول در سیاهه قفطی تهذیب المجسطی است. عنوان شماره 19 از سیاهه II چنین وصف شده است: «کتابی که بخش عملی مجسطی را بشرح بیان می کند. »توصیف عنوان شماره 3 در سیاهه I الف چنین آغاز می شود «شرح و تلخیص کتاب مجسطی، با براهین، که در آن فقط معدودی از مطالبی را که نیاز به محاسبه دارند محاسبه کرده ام... ». این وصف اخیر برای کتابی که به دست ما رسیده بسیار مناسب است.
ابن هیثم در مقدمه کتاب می گوید که بیشتر شارحان مجسطی به جای آنکه در توضیح نکات مبهم کتاب برای مبتدیان بکوشند، سعی داشته اند روش های دیگری برای محاسبه پیش بنهند، و مثلاً نیریزی را نام می برد که «کتاب خود را از انواع روشهای محاسبه آکنده، تا بدین وسیله بر حجم آن بیفزاید». اما ابن هیثم خواسته است نکات اساسی را که به نحوه تشکیل جداول بطلمیوس مربوط می شود توضیح دهد، و در نظر داشته است که شرحش در کنار خود مجسطی خوانده شود، و از اصطلاحات و ترتیب مطالب مجسطی پیروی کرده است. بنابراین قرار بوده است که کتاب سیزده بخش داشته باشد، اما برای رعایت اختصار و نیز بدین دلیل که مجسطی «معروف است و آسان به دست می آید» از سنت شارحان، که متن مجسطی را هم نقل می کردند، پیروی نکرده است. متأسفانه نسخه خطی این کتاب پیش از پایان بخش پنجم، و اندکی پس از بحث در نظریه بطلمیوس درباره خورشید و ماه، قطع می شود. ابن هیثم ضمن مطالبی که برای تکمیل یا روشن کردن یا تصحیح براهین بطلمیوس به کتاب افزوده است به نویسندگان پیشین اسلامی در نجوم اشاره می کند، از جمله ثابت بن قره (درباره «شکل قطاع») بنوموسی (درباره کره) و ابراهیم بن سنان( درباره سایه شاخص). در نسخه خطی همه نمودارها موجود است و به روشنی ترسیم شده، اما نسخه بردار جدولهای کتاب را پرنکرده است.
ریاضیات. شهرت ابن هیثم در ریاضیات بر مسئله ای که از قرن هفدهم تا کنون به «مسئله ابن هیثم» معروف شده، استوار است. این مسئله را، به صورتی که ابن هیثم در نظر داشته، چنین می توان بیان کرد: به ازای هر دونقطه ای که در خارج از سطح بازتابنده ای قرار داشته باشند این سطح ممکن است تخت، کروی استوانه ای، یا مخروطی، محدب یا مقعر، باشد نقطه ای (یا نقاطی) روی سطح پیدا کنید که نوری که از یکی از این دو نقطه به سطح می تابد از آن نقطه به نقطه دیگر بازتاب پیدا کند. بطلمیوس در المناظر ثابت کرده است که در آینه های محدب کروی فقط یک نقطه بازتاب وجود دارد. وی چند حالت را هم که به آینه های مقعر کروی مربوط می شوند بررسی کرده است، از جمله حالتی که در آن دو نقطه مفروض بر مرکز کره منطبق باشند؛ حالتی که دو نقطه برقطری واقع باشند و فاصله شان از کره مساوی یا نامساوی باشد؛ و حالتی که دو نقطه بر وتری از کره و به یک فاصله از مرکز آن باشند. آنگاه چند حالت را که بازتاب ممکن نیست ذکر می کند(18).
ابن هیثم در مقاله پنجم المناظر می کوشد این مسئله را برای همه حالات سطوح کروی، استوانه ای و مخروطی چه محدب و چه مقعر حل کند؛ و گرچه در همه حال موفق نیست، اما نحوه عمل او که احاطه اش را بر ریاضیات عالی یونانی نشان می دهد، به حق تحسین ریاضیدانان و مورخان بعدی را برانگیخته است. کسانی که به بررسی این مسئله پرداخته اند، در کار ابن هیثم با مشکلاتی مواجه شده اند. متن مقاله پنجم المناظر، در نسخه خطی فاتح و نسخه اباصوفیه که از روی آن استنساخ شده است، اغلاط املایی فراوانی دارد و در هیچ یک از این دو نسخه براهین مفصل ابن هیثم با شکلی که مطلب را توضیح دهد همراه نیست (19). در شرح کمال الدین و در متنی که ریزنر از ترجمه لاتینی قرون وسطایی منتشر کرده چنین شکلهایی وجود دارد، اما این متون هم خالی از اشتباه نیستند. از این رو باید مراتب امتنان خود را از مصطفی نظیف اظهار داریم که این مسئله را به صورت کامل و روشن تحلیل کرده و چهار فصل از کتاب خود را، که استادانه نوشته شده، بدان اختصاص داده است.
ابن هیثم حل این مسئله را در حالت کلی بر شش قضیه فرعی (لِم =مقدمه)، که جداگانه ثابت می کند، استوار می سازد: (1) رسم خطی از نقطه مفروض Aبر دایره ABG، به طوری که محیط دایره را در H و قطر BG را در D قطع کند و فاصله DH مساوی طول معلومی باشد؛(2) رسم خطی از نقطه مفروض A به طوری که قطر BG را در E و محیط را در D قطع کند و ED مساوی طول معلومی باشد؛(3) رسم خط DTK از نقطه D واقع بر ضلع BG از مثلث قائم الزاویه ای که زاویه B اش قائمه است. به طوری که AG را در T (و امتداد BA را در K) قطع کند و نسبت KT: TG مساوی نسبت معلومی باشد؛ (4) رسم دو خط EA و ED از دو نقطه در خارج دایره ABکه در آن Aنقطه ای روی محیط دایره است به طوری که مماس در A زاویه EAD را به طور مساوی تقسیم کند؛(5) رسم خطی از نقطه E در خارج دایره ای که قطرش ABو مرکزشG است، به طوری که محیط را در D و قطر را در Z قطع کند و DZ با ZG برابر باشد؛ و (6) رسم خطی از نقطه D واقع بر ضلع GB از مثلث قائم الزاویه ای که زاویه B اش قائمه است، به طوری که وتر AG را در K و امتداد AB از طرف B را در T قطع کند و نسبت KG: TK برابر با نسبت معلومی باشد(20).
روشن است که قضایای فرعی (1) و(2) حالتهای خاصی از یک مسئله هستند و میان (3) و (6) نیز چنین رابطه ای وجود دارد. نظیف در بیان استدلال ابن هیثم هر یک از این دو جفت را در قالب یک ساختمان هندسی بیان کرده است. بد نیست که در اینجا ساختمان او را برای (1) و (2) نقل کنیم و در توضیح روش ابن هیثم بر راه او برویم و به ساختمان او ارجاع دهیم. اتفاقاً (1)و (2) برخی از ویژگیهای مشخصه حلی را که برای این مسئله هندسی پیشنهاد شده در بردارند. در شکل 3، A نقطه معلومی بر محیط دایره کوچک به قطر BG است. می خواهیم از Aخطی رسم کنیم که دایره را در D و قطر، یا امتداد آن، را در E قطع کند و DE مساوی طول معلوم z باشد.
از G خط GH را موازی AB رسم می کنیم تا دایره را در H قطع و کند و BH را وصل می کنیم. فرض می کنیم که امتدادهای AG و AB، بترتیب، نماینده محورهای x و y باشند که مبدأشان بر A منطبق است. هذلولیی را که از H می گذرد و xو y مجانبهای آن هستند رسم می کنیم. آنگاه به مرکز H دایره ای به شعاع
HS= رسم می کنیم (HS ضلع مستطیلی است که ضعل دیگرش z و مساحتش
است). این دایره در حالت کلی، دو شاخه هذلولی را در چهار نقطه مانند S. T. Uو V قطع خواهد کرد. Hرا به هر چهار نقطه وصل می کنیم و از A خطهایی به موازات HS. HT. HU. HV رسم می کنیم. هر یک از این خطهای موازی دایره محیطی مثلث ABG را در نقطه ای چون D و قطر، یا امتداد آن، را در نقطه ای چون E قطع خواهد کرد. ثابت می توان کرد که هر یک از این خطوط در شرط مورد نظر ما صدق می کند.
به خلاف اثبات بالا ابن هیثم سه حالت را، یکی پس از دیگری، در نظر گرفته است : (الف) خط مطلوب مماس بر دایره است، یعنی A بر D منطبق است؛ (ب) Dروی قوس AG است؛ و (ج) D روی قوس AB است. با وجود کلیت قضیه فرعی (1)، وی حالتی را که خط مطلوب امتداد BG را در طرف B قطع می کند در نظر نمی گیرد. همچنین وقتی قضیه فرعی (2) می پردازد، بر حسب رابطه دایره با «شاخه مقابل» هذلولی، سه حالت زیر را جداگانه بررسی می کند:
**توضیح تصویر
شکل 1
(الف)دایره این شاخه را دردو نقطه قطع می کند، (ب) دایره در یک نقطه بر این شاخه مماس می شود؛ و (ج)دایره این شاخه را قطع نمی کند. برای یافتن کوتاهترین فاصله H از «شاخه مقابل» هذلولی از قضیه 34 از مقاله پنجم مخروطات آپولونیوس استفاده می کند. هر چند ابن هیثم از دستگاه مختصات متعامدی که مبدأش نقطه معلوم A باشد چیزی نمی گوید، با این حال مربعی مشابه ABHG را در نظر می گیرد و ضلعهای آن را که نظیر AB و AG اند به عنوان مجانبهای هذلولیی که از نقطه ای نظیر نقطه H در شکل 3 رسم کرده است، وصف می کند. برای ترسیم این هذلولی از قضیه 4 مقاله دوم مخروطات آپولونیوس استفاده می کند.
ابن هیثم هنگامی که این شش قضیه فرعی را برای یافتن نقطه بازتاب در انواع مختلف سطوح به کار می برد، باز موارد خاص را به نوبت می آزماید. نظیف اثبات کرده است که حالتهای مختلفی که قضیه فرعی 4 در برشان می گیرد، حل کلی مسئله را برای سطوح کروی، چه محدب و چه مقعر، تشکیل می دهند. در مورد آینه های استوانه ای ابن هیثم این حالات را در نظر می گیرد: (الف) دو نقطه در صفحه ای عمود بر محور استوانه واقع اند؛ [(ب) حالتی که دو نقطه روی صفحه ای قرار دارند که محور استوانه هم بر آن واقع است](21)؛ و (ج) حالت کلی، که در آن مقطع صفحه دربرگیرنده نه خط مستقیم است و نه دایره بلکه بیضی است. برای آنکه نشان دهد در سطوح محدب مخروطی بازتاب فقط از یک نقطه، که تعیینش کرده است، صورت می گیرد، شش حالت مختلف را توصیف می کند. در مورد آینه های مقعر ثابت می کند که بازتاب ممکن است از یک تا چهار نقطه رخ دهد، اما عده این نقاط از چهار بیشتر نمی شود؛ و در مورد آینه های استوانه ای مقعر هم استدلال می کند که نقاط بازتاب به همین تعداد است.
گذشته از بخشهای ریاضی المناظر در حدود بیست نوشته از ابن هیثم به دست ما رسیده که منحصراً به مباحث ریاضی اختصاص دارند. بیشتر این نوشته ها کوتاهند و ارزش و اهمیت آنها یکسان نیست. اصل عربی حدود یک چهارم این آثار چاپ شده، و حدود نصف آنها به زبانهای اروپایی ترجمه یا نقل به معنی شده است. برخی از این آثار را که اهمیت بیشتری دارند می توان به دو گروه تقسیم کرد و ما هم به همین صورت آنها را بررسی می کنیم.
در سیاهه III سه اثر وجود دارد (56IIIو 39III، 55III) که گفته شده است به حل مشکلاتی که در سه بخش از اصول اقلیدس وجود دارد اختصاص دارند. هیچ یک از نسخه های خطی موجود با این توصیف تطبیق نمی کند. اما نسخه های متعددی از اثر مفصلی تحت عنوان کتاب فی حل شکوک کتاب اقلیدس فی اصول و شرح معاینه وجود دارد که نامش در سیاهه III نیامده است. بنابراین شاید 39III و 55IIIو 56III بخشهایی از این اثر مفصل باشند.
ابن هیثم در حل شکوک خواسته است برنامه ای بلند پروازانه را به اجرا در آورد. به خلاف آثاری که پیش از او در این زمینه نوشته شده، وعده داده است که به بررسی برخی از مشکلات اصول اکتفا نکند و به همه یا اغلب آنها بپردازد؛ حالتهای خاص را امتحان کرده و راه حل های جدیدی برای برخی از مسائل ارائه داده است؛»علتهای دور ریاضی» (العلل التعلیمیه البعیده)قضایای نظری (الاشکال العلمیه) را آشکار کرده که به گفته او «هیچ یک از قدما و متأخران متعرض این نکته نشده»؛ و بالاخره به جای برهانهای غیرمستقیم (برهان خلف) اقلیدس برهانهای مستقیم آورده است. در این کتاب ابن هیثم به رساله ای به نام مقاله فی شرح مصادرات کتاب اقلیدس (2III) که پیش از آن نوشته اشاره کرده و گفته است که می خواسته است با این دو اثر شرح کاملی بر تمام اصول نوشته باشد. از این کتاب اخیر، که صرفاً به تعریفات و اصول متعارفی و اصول موضوعه اصول پرداخته، هم اصل عربی و هم ترجمه ای به عبری که موسی بن تبون در 1270 میلادی ساخته، موجود است. بررسی ابن هیثم از نظریه اقلیدس در باب موازیها روش او را در این دو «شرح» به بهترین وجه نشان می دهد.
ابن هیثم در 2III این «اصل متعارفی» را به اقلیدس نسبت می دهد که «دو خط مستقیم هیچ فضایی (سطحی) را محصور نمی کنند»(خود او عقیده دارد که باید این اصل را جزء «اصول موضوعه» به شمار آورد). در مورد تعریف اقلیدس، که خطوط موازی را همان خطوط نامتقاطع می داند، گفته است که باید «وجود» چنین خطوطی ثابت شود، و بدین منظور اصل موضوع زیر را که «بدیهی» تر است در کار می آورد: اگر خط مستقیمی چنان حرکت کند که یک سر آن همواره روی خط مستقیم دیگری باشد، و در تمام مدت حرکت بر این خط دوم موازی است. بدین طریق ابن هیثم توازی به مفهوم اقلیدس آن را برداشته و به جایش هم فاصلگی را نشانده؛ این روش اصل یونانی دارد و دربسیاری از کوششهایی که مسلمانان برای اثبات اصل موضوع پنجم کرده اند دیده می شود.
ابن هیثم نیز مانند سلف خود ثابت بن قره برهان خود را بر مفهوم حرکت مبتنی کرده است؛ خیام و طوسی این روش را با هندسه بیگانه دانستند و نپسندیدند. مرحله حساس در استنتاج اصل موضوع اقلیدس، اثبات «فرض زاویه قائمه» ساکری با استناد به «چهار ضلعی ساکری(22)» است. فرض کنید AG و BD عمود بر AB رسم شوند (شکل 4)، می خواهیم ثابت کنیم که خطوطی که از نقاطی در روی AG وBDعمود شوند با ABمساوی اند و بنابراین بر AG عمودند. از هر نقطه دلخواه G خط GD را عمود بر BDرسم می کنیم، GA را تا E امتداد می دهیم به طوری که AE مساوی AG باشد. ET را عمود بر امتداد DB رسم می کنیم، و BG و BE را وصل می کنیم. نخست مثلثهای ABG و ABE و سپس مثلثهای BDGو BTE را در نظر می گیریم، می بینیم که GD با ET مساوی است. حال فرض کنید که GD روی DBT حرکت کند، به طوری که زاویه GDT همواره قائمه باشد. دراین صورت، هنگامی که Dبر B منطبق می شود، G یا بر A منطبق می شود، یا روی خط AB پایینتر از آن می افتد و یا روی امتداد خط BA( در نقطه H که در شکل نشان داده شده است) بالاتر از A قرار می گیرد؛ بر حسب اینکه GD مساویAB، کوچکتر از آن، یا بزرگتر از آن باشد. وقتی D به T می رسد، GD دقیقاً بر ET منطبق می شود. ضمن این حرکت، G خط راستی رسم می کند که، به فرض آنکه DG باAB مساوی نباشد، با خط راست دیگر GAE سطحی را محصور خواهد کرد که این امر محال است. سرانجام، اگر بترتیب مثلثهای GKD، AKB، BDA، BDG، را در نظر بگیریم، می بینیم که زوایای DGA و BAG با هم برابر و مساوی نود درجه اند. بدین ترتیب اصل موضوع اقلیدس ثابت می شود.
ابن هیثم در شرح مفصل خود، اصل موضوع پنجم اقلیدس را از نو صورتبندی کرده، و گفته است که دو خط مستقیم متقاطع امکان ندارد با خط سومی موازی باشند («اصل موضوع پلی فر(23)»)، و به اثباتی که در اثر پیشین خود ارائه داده بود استناد کرده است. باید یادآوری کرد که خواجه نصیر طوسی انتقاد خود را (در اثر خود درباره موازیها، الرساله الشافیه ) از کوشش ابن هیثم، تذکراتی که در شرح بزرگ ابن هیثم آمده است مبتنی کرده، زیرا به گفته خودش به اثر پیشین او دسترسی نداشته است.
**توضیح تصویر
شکل 2
ابن هیثم دو رساله درباره تربیع شکلهای هلال مانند (الاشکال الهلالیه) تألیف کرده است. (عنوان این دو رساله باعث شده که بعضی آنها را درباره ماه بدانند). هر چند از رساله دوم که مکملتر است(21III) چندین نسخه موجود است، اما این اثر هنوز مورد تحقیق قرار نگرفته است. از مقدمه کتاب چنین معلوم می شود که این رساله مدتها پس از رساله اول (20III، اکنون موجود نیست) تألیف شده، هر چند درسیاهه III نام آنها به دنبال هم آمده است. این رساله حاوی بیست و سه قضیه درباره هلال است؛ بعضی از این قضیه ها تعمیم قضایایی هستند که در رساله پیشین در حالت خاص ثابت شده اند، اما بعضی دیگر کاملاً جدیدند. موضوع این دو رساله با مسئله تربیع دایره رابطه دارد: اگر بتوان اشکال مسطحی را که بین دو قوس دایره با شعاعهای نامساوی محصورند تربیع کرد، چرا نتوان همین کار را با دایره، که ساده تر است، انجام داد؟ ابن هیثم این استدلال را در رساله مختصری به نام مقاله فی تربیع الدایره(30III) آورده است. هدف رساله اثبات «امکان» تربیع دایره است، بی آنکه راه «یافتن» یا ساختن مربعی را که مساحتش با دایره مفروضی مساوی باشد، نشان دهد.
برای توضیح این نکته، ابن هیثم قضیه ای را که به بقراط خیوسی منسوب است تعمیم می دهد و ثابت می کند. برهان قضیه را از رساله پیشین خود درباره هلالها نقل می کند. در شکل 5 فرض کنید B نقطه دلخواهی روی نیمدایره ای به قطر AG باشد. نیمدایره های کوچکتر را که قطرشان بترتیب AB و BG است رسم کنید. ثابت می شود که مساحت هلال های AEBH و BZGT روی هم برابر است با مساحت مثلث قائم الزاویه ABG. بر پایه قضیه دوم از مقاله دوازدهم اصول اقلیدس که می گوید نسبت مساحتهای دو دایره برابر است با نسبت مربع قطرهای آنها، می توان ثابت کرد که مساحت نیمدایره هایی که روی AB و BG ساخته می شوند، روی هم برابر است با مساحت نیمدایره ای که روی وتر AG و BG ساخته می شود. تساوی مساحت هلال ها با مساحت مثلث ABG از تفریق قطاعهای AHB و BGT از طرفین معادله نتیجه می شود. بقراط حالت خاصی را که مثلث ABG متساوی الساقین باشد در نظر گرفته بود(24).
**توضیح تصویر
شکل 3
دو اثر دیگر ابن هیثم که موضوعشان بسیار به هم نزدیک است عبارتند از مقاله فی التحلیل و الترکیب (53IIIو مقاله فی المعلومات (54III. موضوع اثر اخیر با داده ها (Δεδομένα)ی اقلیدس که به عربی کتاب المعطیات خوانده می شود اشتراکاتی دارد. اینکه ابن هیثم به جای واژه المعطیات واژه المعلومات را به کار برده، در ترجمه عربی خود اصول اقلیدس سابقه دارد، آنجا هم واژه المعلوم همه جا به معنی «داده» به کار رفته است. مقاله فی التحلیل و الترکیب اثری اساسی است در حدود 24000 کلمه، و موضوع آن بیان روشهای تحلیل و ترکیب است که برای کشف و اثبات قضایا و ترسیمات ضرورت دارد، و این مقصود را از راه نشان دادن کاربردهای این دو روش در چهار علم حساب، هندسه، نجوم، و موسیقی حاصل می کند. در این کتاب در مواردی که پیش از شروع به تحلیل قضیه ای باید خواصی جز آنچه را که در صورت قضیه بیان شده حدس زد، توجه زیادی به «شهود علمی»(الحَدسُ الصّناعی)شده است.
ابن هیثم در آنجا که رابطه میان این رساله و مقاله فی المعلومات را بیان می کند، مطالبی می آورد که ما در اینجا نقل می کنیم. او می گوید که فن تحلیل بدون شناختن آنچه گفته می شود ناقص است.
اما معلومات بر پنج قسم است: آنچه عددش معلوم است، آنچه مقدارش معلوم است، آنچه نسبتش معلوم است، آنچه مکانش معلوم است، و آنچه نوعش معلوم است [المعلومُ الصّوره]. در کتاب المعطیات اقلیدس بسیاری از این معلومات که ابزار فن تحلیل اند آمده است، که عمده تحلیل بر آنها مبتنی است. اما آن کتاب معلومات دیگری را که برای فن تحلیل ضرورت دارند دربرندارد... و ما در کتب دیگر هم آنها را نیافته ایم. در مثالهایی که از تحلیل در این رساله ذکر می شود ما معلوماتی را که به کارمی بریم اثبات می کنیم، چه آنها را در کتابهای دیگر یافته باشیم و چه نیافته باشیم... پس از تکمیل این رساله، موضوع را در رساله دیگری از سرخواهیم گرفت، و در آن ماهیت معلوماتی را که در ریاضیات به کار می رود نشان خواهیم داد، و انواع آنها، و آنچه را که بدانها مربوط می شودبرخواهیم شمرد(25).
مقاله فی المعلومات، که موجود است، در واقع به دو بخش تقسیم می شود، که بخش اول آن ( شامل بیست و چهار قضیه) ابداع خود ابن هیثم شمرده شده است. در 1834 سدیو (26) مقدمه این رساله را (که بحثی است درباره مفهوم علم)نقل به معنی کرد و با ترجمه توضیحات قضایای هر دو بخش به چاپ رساند. مقاله فی التحلیل و الترکیب تا کنون مورد بررسی قرار نگرفته است. از میان دیگر آثار ریاضی ابن هیثم، مهمترین آنها به زبانهای اروپایی ترجمه شده و موجود است.

پی نوشت ها :

1. W. Hartner, "The Mercury Horoscope... , "esp. pp. 122-124.
2- Abraham Hebraeus
3- Alfonso X
4- liber de mundo et coelo
5. M. Steinschneider, "Notice... , ''p. 723.
6- Salomo Ibn Pater
7- Abraham de Balmes
8- Grimani
9- Theoricae novae planetarum
10. Hartner, op cit. , pp. 124, 127 ff.
11. MS India Office, Loth 734, fol. 101r.
12. شکوک(III64). ص19.
13. W. Hartner, "Nasir al -Din al _Tusi's Lunar Theory,' in Physis, 11(1969), 287-304.
14. شکوک(III64). ص39;همچنین ص33. عبارت متن ترجمه عبارت اسحاق بن حنین است که ابن هیثم نقل کرده است. تفاوت عبارت یونانی با عبارت عربی بسیار کم است:

(Ptolemy, Syntaxis mathematica, J. L. Heiberg, ed., II [Leipzig, 1903], 212, II. 11-14).
15. See E. S. Kennedy, "Late Medieval Planetary Theory'', in Isis, 57(1966), 365-378, esp. 366-368.
16. من به نسخه های خطی زیر در موزه بریتانیا رجوع کرده ام، Add. 23, 394; Add. 23, 397 و Add 7472 Rich. دو نسخه اخیر نسخ خطی توضیح است که شرح نیشابوری است بر تذکره.
17. به احتمال بسیار زیاد اشاره او به رساله گمشده درباره حرکت التفاف(III61) است.
18. A. Lejeune, Recherches sur la catoptrique grecque(Brussles, 1957_,pp. 71-74.
19. نمودارها در نسخه خطی کوپر و لو 952 موجود است(رجوع کنید به کتابشناسی، « آثار اصلی» زیر شماره III3). تا آنجا که من می دانم از این نسخه خطی تا کنون در تحقیق درباره المناظر استفاده نشده است.
20. Opticae thesaurus, Alhazeni libri VII, pp. 142-150.
21- این قسمت در اصل مقاله افتاده بود که با توجه به عبارات پیش و پس آن افزوده شد. - م.
22- Saccheri
23- Playfair
24. Sir Thomas Heath , A History of Greek Mathematics, I (Oxford, 1921),pp. 183 ff.
25. Chester Beaty MS 3652, fol. 71r-v.
26- L. Sedillote

 

منبع: گیلسپی، چارلز کولستون؛ (1389)، زندگینامه‌ی علمی دانشمندان اسلامی (جلد نخست)، ترجمه‌ی جمعی از مترجمان، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ چهارم